Question

高中集合问题

已知集合P={X|1/2<=X<=3}，函数f(x)=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q
（2）若P交Q为空集，求a的范围
(我算出来a是无解，感觉不对劲，求正确解题过程及答案，答的好的追加）

Answer 1

令g(x)=ax^2-2x+2
第一种情况a>0,g(0.5)<=0,g(3)<=0,无解
第二种情况a=0,解得x<1.P交Q为空集,不符合题意
第三种情况a<0,
(1)判别式4-8a<=0,所以a>=0.5,不符
(2)判别式4-8a<=0,g(0.5)<=0,g(3)<=0,所以a<=-4
{画图容易理解}

Answer 2

a是无解的

Answer 3

Q的范围即为ax^2-2x+2>0的解集
P交Q为空说明P中任一点均不满足ax^2-2x+2>0
即P中任一点均有ax^2-2x+2≤0

首先代入端点1/2和3到不等式ax^2-2x+2≤0中
得a≤-4
故ax^2-2x+2应为一开口向下的抛物线

要使该曲线在[1/2,3]上小于等于0
只需满足：在两端点处小于等于0，且抛物线对称轴不在[1/2,3]上
两端点处前面已经验证过
抛物线对称轴为1/a，由a≤-4知1/a<0<1/2
故该抛物线在[1/2,3]上恒小于等于0

综上，若P交Q为空集，则a的取值范围为(-∞,-4]