Question

三重积分截面法

一道三重积分的问题.为什么不能用截面法来做?
I=∫∫∫ (x²+y²)²dV 积分区域为,z=x²+y²,z=1,z=2.
为什么不能用截面法来算?
把式子中的(x²+y²)²代换为z²,然后在积分区间中任意截面的面积为πz
那么积分就化为∫πz^3dZ在1,2区间上积分啊,但是结果算出来为15/4π和答案的4/5π不一样,为什么会这样?
而另一道相同的题z²=x²+y² ,z=1,z=2上积分I=∫∫∫zdZ 就可以用我上述的截面法,
是x²+y²=z不能在第一题替换还是x²+y² =z的截面 面积不为πz?
第二题我打错了 也是dV 不是dZ

Answer 1

如果在积分区域内 处处都有 z=x²+y² 则是可以代换的
但是你自己看 在题目所给的区域里面 除了边界曲面上 其他地方不能使z=x²+y²成立
所以不能够这样代换
比如这一题是对曲面积分 你就可以代换了 可是这是对体积积分 所以不行 结果自然就不对了
对于普通三重积分 采取分步积分 此题很简单 xy用极坐标代换 变为=∫dz∫∫ (x²+y²)²dxy=∫dz∫d0∫r^5 dr R变化范围是 0到根号z 0变化范围 0到2π 很简单
知道了替换的适用情况 就好理解了!