Question

关于不定积分 X乘以Tanx的平方

求不定积分 ∫xtan²xdx
原式=∫x(sec²x-1)dx=∫xsec²xdx-∫xdx=∫xd(tanx)-(x²/2)
=xtanx-x²/2-∫(sinx/cosx)dx=xtanx-x²/2+∫d(cosx)/cosx=xtanx-x²/2+ln︱cosx︱+C
我的疑问是为什么对积分的结果（xtanx-x²/2+ln︱cosx︱+C）进行求导后得到 x (ln︱cosx︱-1),这个结果与∫xtan²x 不一致。

Answer 1

当cosx>0时：
[xtanx-(x²/2)+ln︱cosx︱+C]'=[xtanx-(x²/2)+lncosx+C]'=tanx+xsec²x-x-(sinx/cosx)
=xsec²x-x=x(sec²x-1)=xtan²x;
当cosx<0时：
[xtanx-(x²/2)+ln︱cosx︱+C]'=[xtanx-(x²/2)+ln(-cosx)+C]'=tanx+xsec²x-x+[sinx/(-cosx)]
=tanx+xsec²x-x-tanx=x(sec²x-1)=xtan²x;
没有你说的情况。

Answer 2

你的导数求错了。对（xtanx-x²/2+ln︱cosx︱+C）
求导的正确结果就是xtan²x