Question

高一数学题！

求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一根为1的充要条件是：a+b+c=0

Answer 1

证明：（1）当x=1时，a*1^2+b*1+c=0 ,即：a+b+c=0；
（2）又因为a+b+c=0,所以，a=-b-c;于是：（-b-c)x^2+bx+c=0,化简得：bx(1-x)+c(1+x)(1-x)=0,即：(bx+cx+c)(1-x)=0,所以x=1是方程的一个根。综上：关于x的方程ax^2+bx+c=0有一根为1的充要条件是：a+b+c=0

Answer 2

首先证明必要性成立
因为关于x的方程ax^2+bx+c=0有一根为1，把x=1代入方程，得到 a+b+c=0, 即必要性成立
再看充分性
a+b+c=0得到c=-(a+b)
ax^2+bx+c=0，所以（x-1)（ax+a+b)=0,所以x=1是方程的根，充分性也成立
所以充要条件是：a+b+c=0