关于高等数学的多元函数积分对称性的问题
这个题中由于对称性，将对x的积分上下限-1→1变成2倍的0→1，可如果不用对称性直接对x用-1→1积分（划线部分），这样的话画圈的地方就变成2/3∫（-1→1）x...
这个题中由于对称性，将对x的积分上下限-1→1变成2倍的0→1，可如果不用对称性直接对x用-1→1积分（划线部分），这样的话画圈的地方就变成2/3∫（-1→1）x³dx=0了吗？这样做在哪里出错了？一直没想明白，请各位帮忙看一下，谢谢
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你错在对 y 积分的计算上：是 (2/3)|x|^3， 而不是 (2/3)x^3 :
∫<-1, 1>dx ∫<0, x^2> √(x^2-y)dy
= ∫<-1, 1>dx [(-2/3)(x^2-y)^(3/2)]<0, x^2>
= ∫<-1, 1>dx (2/3)|x|^3
= (2/3) [ ∫<-1, 0>(-x^3)dx + ∫<0, 1>x^3dx ]
= (1/6) { [-x^4]<-1, 0> + [x^4]<0, 1> } = 1/3
∫<-1, 1>dx ∫<0, x^2> √(x^2-y)dy
= ∫<-1, 1>dx [(-2/3)(x^2-y)^(3/2)]<0, x^2>
= ∫<-1, 1>dx (2/3)|x|^3
= (2/3) [ ∫<-1, 0>(-x^3)dx + ∫<0, 1>x^3dx ]
= (1/6) { [-x^4]<-1, 0> + [x^4]<0, 1> } = 1/3
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