Question

已知向量a非零向量，且向量b≠向量c，求证：向量a乘以b=向量a乘以向量c等于向量a⊥(向量b-向量C)

Answer 1

a·b=a·c
即a·b-a·c=0
根据向量点乘的性质，这等价于
a·（b-c）=0
而a非0，b-c非0，
所以等式等价于a垂直于b-c
（注：有可能b=c,这时b-c=0,非0向量a垂直于0向量b-c也是正确的）
所以选c
懂了吗？.

Answer 2

为了表示方便，我直接用a,b,c表示向量a,向量b,向量c
a·b=a·c
<=>a⊥(b-c)
∵b≠c
∴b-c不是0向量
充分性
∵a·b=a·c
∴a·b-a·c=0
由向量的内积计算公式，得
a·(b-c)=0
且b-c不是0向量
∴a⊥(b-c)
必要性
∵a⊥(b-c)，b-c不是0向量
∴a·(b-c)=0
由向量的内积计算公式，得
a·b-a·c=0
∴a·b=a·c
证得
a·b=a·c
<=>a⊥(b-c)