Question

已知空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），求平面ABC的一个法向量

Answer 1

平面ABC的法向量为n=（0，0，1）。

因为空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2）。所以AB=（0，2，0），AC=（2，0，0）。令平面ABC的法向量为n=（x，y，z），则n?AB＝2y＝0n?AC＝2x＝0，解得x=0，y=0，取z=1。

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但相互平行。

平面法向量的具体步骤：

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0； 

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

Answer 2

∵空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），
∴
AB
=（0，2，0），
AC
=（2，0，0）．
令平面ABC的
法向量
为
n
=（x，y，z），
则
n
?
AB
＝2y＝0
n
?
AC
＝2x＝0
，解得x=0，y=0，取z=1．
可得平面ABC的法向量为
n
=（0，0，1）．

Answer 3

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）
1、建立直角坐标系
2、设平面法向量n=（x，y，z）
3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,
a3）
b=（b1，b2，b3）
如在本题中，ab
=
(4,
2,
-2)，
bc
=
(-2,
2,
0)
4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0
②n·b=0
即
4x+2y-2z
=
0,
-2x+2y
=
0
5、解方程组，取其中一组解即可。
解得
x
=
1,
y
=
1,
z
=
3
6、单位化，得
(v11
/11,
v11
/11,
3v11
/11)
（v是根号~）
当然你也可以用叉积直接算，
abxbc
=
(4,
4,
12)，要是没学就算了