Question

已知:如图,E是正方形ABCD的边CD上任意一点,F是边AD上的点,且FE平分∠ABE,求证:BE=AF+CE

RT 求解
RT

Answer 1

证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG
∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FBC=∠EBG，
∵AD∥BC，
∴∠5=∠FBC=∠EBG，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=CG+CE=AF+CE．

Answer 2

证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG
∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FBC=∠EBG，
又∵AD∥BC，
∴∠5=∠FBC=∠EBG，
∴∠EBG=∠G，

∴△EBG是等腰三角形

又∵AF=CG

∴BE＝CE＋CG

∴BE＝AF＋CE

Answer 3

先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．

证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG

∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，

∴△ABF≌△CBG，

∴∠5=∠G，∠1=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴∠2+∠4=∠3+∠4，

即∠FBC=∠EBG，

∵AD∥BC，

∴∠5=∠FBC=∠EBG，

∴∠EBG=∠G，

∴BE=CG+CE=AF+CE．

本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键．