Question

如何证明奇数次实系数多项式一定有实根

Answer 1

因为奇数次实系数多项式形如：
a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0=0
其中最高次项系数a(2n-1)≠0
令f(x)=a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0
如果a(2n-1)>0，则当x->+∞时，f(x)->+∞；
当x->-∞时，f(x)->-∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
如果a(2n-1)<0，则当x->+∞时，f(x)->-∞；
当x->-∞时，f(x)->+∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
故奇数次实系数多项式一定有实根。

Answer 2

证明：因为奇数次实系数多项式形如：
a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0=0
其中最高次项系数a(2n-1)≠0
令f(x)=a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0
如果a(2n-1)>0，则当x->+∞时，f(x)->+∞；
当x->-∞时，f(x)->-∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
如果a(2n-1)<0，则当x->+∞时，f(x)->-∞；
当x->-∞时，f(x)->+∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
故奇数次实系数多项式一定有实根。

Answer 3

设f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n，其中n=2k+1。
（1）an>0,
则 x-->+∞，limf(x)-->+∞
x-->-∞，limf(x)-->-∞
由于实系数多项式在（-∞，+∞）上连续，根据中值定理则必定存在f(x)=0,
即奇数次实系数多项式至少有一个实根。
（2）an<0, 同理，至少有一个实根。

Answer 4

设f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n，其中n为奇数。
f(x)在(-∞，+∞)上是连续函数，只要存在x1,x2，使得f(x1)*f(x2)<0
根据零点存在定理，即得存在x∈(x1,x2)，使得f(x)=0
f(x)/x^n=a0*(1/x^n)+a0*(1/x^(n-1))+...+an-1*(1/x)+an
不妨设an>0
当x->+∞时,f(x)/x^n->an，f(x)>0
当x->-∞时,f(x)/x^n->an，f(x)<0
所以存在x1,x2，使得f(x1)*f(x2)<0
即证奇数次实系数多项式一定有实根

Answer 5

设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+……+an,其中a0>0,n为奇数，则
x→+∞时f(x)→+∞；
x→-∞时f(x)→-∞，
∴f(x)至少有一个零点，命题成立。