Question

对于函数f(x),存在x属于R,使f(x)=x成立,则称x为不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)求 对任意b f(x)

对任意b， f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围

Answer 1

题目等效为f(x)-x=ax^2+bx+b-2=0 有两不等根
根的判别式得

b^2-4a(b-2)>0
b=2 时,a可取所以值
b>2时 4a<b^2/(b-2)=[(b-2)^2+4(b-2)+4]/(b-2)=(b-2)+4+4/(b-2)
因为b>2时,b-2>0 (b-2)+4+4/(b-2)>=4+2根号((b-2)*(4/(b-2)))=8
当且仅b=4时取等号
所以只要4a<8<=b^2/(b-2)即a<2时，就能满足b^2-4a(b-2)>0

b<2时 4a>b^2/(b-2)=[(b-2)^2+4(b-2)+4]/(b-2)=(b-2)+4+4/(b-2)
因为b<2时,-(b-2)>0
(b-2)+4+4/(b-2)=4-[-(b-2)+(-4/(b-2))]<=4-2根号(-(b-2)*(-4/(b-2)))=0
当且仅b=0时取等号
所以只要4a>0>=b^2/(b-2)即a>0时，就能满足b^2-4a(b-2)>0
综上所述
当b<2时，a的取值范围为a>0
当b=2时，a的取值范围为a为全体实数
当b>2时，a的取值范围为a<2

Answer 2

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