Question

如图AD,BE分别是三角形ABC的中线与角平分线,AD丄BE,AD=BE=8,则AC的长为

如图AD,BE分别是三角形ABC的中线与角平分线,AD丄BE,AD=BE=8,则AC的长为

Answer 1

解：

设AD与BE交于O，连接DE，

∵AD、BE均为△ABC的中线，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE=1/2AB，DE//AB，

∴△OAB∽△ODE，

∴OA/OD=OB/OE=AB/DE=2/1

∴OA=2/3AD，OD=1/3AD，OB=2/3BE，OE=1/3BE，

∵AD=BE=8，

∴OA=16/3，OE=8/3

∵AD⊥BE，

∴AE=√（OA^2+OE^2）=8√5/3

AC=2AE=16√5/3

【注】若AD=BE=6，则OA=4，OE=2，AE=2√5，AC=4√5 。

追问

有一个角平分线不是中线，做法不正确！

追答

【抱歉，马虎了】

解：

过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F。

∵BE⊥AE，

∴∠AOB=EOB=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABO=∠EBO，

又∵OB=OB，

∴△AOB≌△EOB（SAS），

∴OA=OE=4，

∵∠BOE=∠F=90°，∠BEO=∠CEF，BE=CE，

∴△BOE≌△CFE（AAS），

∴EF=OE=4，FC=OB，

∵OD//FC,

∴OD/FC=OA/AF=4/12=1/3,

即OD/OB=1/3，

∵OD+OB=BD=8,

∴OD=2,OB=6,则FC=6，

∴AC=√（AF^2+CF^2）=√（144+36）=6√5。

Answer 2