Question

高数 ∮(sec x)^3 dx 这个不定积分如何计算? 谢谢！

Answer 1

你用两种方法所求的tan^2
x/2，sec^2
x/2只是全体原函数其中的一个原函数，
实际上，严格来讲正确答案为∫tanx*sec^2x=tanx
d（tanx）=tan^2
（x/2）+c
，c为粻耽纲甘蕺仿告湿梗溅常数
或者∫tanx*sec^2x=secx
d（secx）=sec^2（
x/2）+c，c为常数。
2个答案都是对的，两者只相差一个常数。
其实检验的方法也很简单，即对你算出的结果求导，你就会发现都等于tanx*sec^2x。
因为三角函数之间的关系变换很多变，很复杂，2个看似不同的三角函数之间可能就相差一个常数，比如你上面遇到的情况

Answer 2

∫(secx)^3dx
=∫secx(1+(tanx)^2)dx
=∫secxdx
+
∫tanxdsecx
=∫secxdx
+
tanxsecx
-
∫(secx)^3dx
所以得
∫(secx)^3dx
=(1/2)(∫secxdx
+
tanxsecx)
=(1/2)ln|secx+tanx|+(1/2)tanxsecx
+
C