Question

数学归纳法，证明n^3+5n可被6整除。

我怎么都抽不了6出来。。
求高手解答
to1楼
谢谢，好快的速度。。。
我老爸也是这样教的
一定要这样做？
不能直接把6从整条式子里抽出来证明？
我才刚学1个星期，不知道还有这种证明方式。。。。。

Answer 1

n^3+5n

当n=1时
n^3+5n=6，能被6整除
设n=k时
k^3+5k能被6整除，设
k^3+5k=6m

则n=k+1时

(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+5k+3k(k+1)+6
=6(m+1)+3k(k+1)
因为k，k+1是两个连续整数，因此必有一个是偶数，所有k(k+1)整除2，
设k(k+1)=2N,则3k(k+1)=6N （N是整数）

因此(k+1)^3+5(k+1)=6(m+1)+6n=6(m+N+1)整除6，因此n=k+1时成立
原题得证

Answer 2

证明：

（1）当n＝1时n^3+5n=6能被6整除

（2）设n＝k时k^3+5k能被6整除，则当n＝k+1时

(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6

因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除

现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可

因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2＝偶数 所以（k^2+k) 也能被6整除

所以3(k^2+k)能被6整除

所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除

由1、2可得N的3次方加5N能被6整除

Answer 3

n=1时n^3+5n=6可以被6整除

假设n=k时k^3+5k可以被6整除

则n=k+1时 (k+1)^3+5(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+5k+5
=(k^3+5k)+3k(k+1)+6
由于k是整数，k(k+1)可以被2整出
所以3k(k+1)可以被6整出
所以等式右端=(k^3+5k)+3k(k+1)+6可以被6整出
即有(k+1)^3+5(k+1)可以被6整出
有归纳法得
n^3+5n可被6整除