Question

用向量法求证cosA+cosB+cosC<=3/2

Answer 1

此题方法很多
最简单可能是用欧拉定理来做
直接运用恒等式:
cosa+cosb+cosc=1+r/r
和欧拉不等式r>=2r
就行了
其他方法易于理解
我记得有好多种
证明一
（逐步调整法）由和差化积公式得
cosa+cosb+cosc+cos(π/3)
=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+2cos[(c+π/3)/2]cos[(c-π/3)/2]
<=2{cos[(a+b)/2]+cos[(c+π/3)/2]}
=4cos[(a+b+c+π/3)/4]cos[(a+b-c-π/3)/4]
<=4cos[(a+b+c+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以
cosa+cosb+cosc<=3cos(π/3)=3/2.
注：仿上可证：sina+sinb+sinc<=3√3/2
证明二
(一元化方法)
cosa+cosb+cosc=cosa+2cos[(b+c)/2]cos[(b-c)/2]
<=cosa+2cos[(b+c)/2]
=1-2[sin(a/2)]^2+2sin(a/2)
=-2[(sin(a/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2
证明三
(配方法)
cosa+cosb+cosc=<3/2
<==>(1-cosa-cosb)^2+(sina-sinb)^2>=0
注：一般地，在三角形abc中，对于任意实数x,y,z,有如下著名的“三角形嵌入不等式”：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosa+2zxcosb+2xycosc.
(*)
证明：(*)<==>(z-ycosa-xcosb))^2+(ysina-xcosb)^2>=0
特别地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得
cosa+cosb+cosc=<3/2
(1)
在(*)式中，取a=b=c=π/3,即得
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
(2)
因此，不等式(*)是两个常用不等式(1),(2)的联合推广.