Question

级数∑an*x^n的收敛半径是R 能否推知∑an*x^(n+1)的收敛半径也是R呢？

级数∑an*x^n的收敛半径是R 能否推知∑an*x^(n+1)的收敛半径也是R呢？ ∑an*x^(n-2)呢？∑an*x^(n+k)呢？

Answer 1

收敛半径都是R。

∑an*x^(n+1)是∑an*x^n的通项乘以x，不改变收敛半径。
∑an*x^(n-2)是∑an*x^n的通项乘以1/x²，不改变收敛半径。当然还要n≥2。
∑an*x^(n+k)是∑an*x^n的通项乘以x^k，不改变收敛半径。

级数的性质：通项乘以非零常数，收敛性不变。

追问

帮忙求一下这题的收敛半径，谢谢

追答

分成两个幂级数，套公式求收敛半径，一个是1，一个是2，取较小的一个，最终收敛半径R=1。

追问

为什么取较小的一个，可以详细说说吗？

追答

使用阿贝尔定理。一个的收敛区间是(-1,1)，一个是(-2,2)，在1与2之间任取一点x，第一个级数发散，第二个绝对收敛，合起来的级数就发散，所以由阿贝尔定理，级数在(-1,1)内绝对收敛，之外发散，R=1。

追问

明白了，谢谢