Question

已知关于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0

已知关于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0，是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和为136？若存在，请给出满足条件的m的值：若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：假设存在正数m，
则有x1+x2=4m-8
x1x2=4m^2
则x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(4m-8)^2-8m^2
=8m^2-64m+64
要使x1^2+x2^2=136
即8m^2-64m+64=136
也就是m^2-8m-9=0
解得m=9

Answer 2

设两根为a,b
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
由原方程可得：
a+b=4m-8
ab=4m^2
所以(a+b)^2-2ab=(4m-8)^2-8m^2
=8m^2-64m+64
=136
m^2-8m+8=17
m^2-8m-9=0
(m-9)(m+1)=0
m=9,m=-1

Answer 3

存在

设两根分别为X1,X2
X1+X2=-(8-4m) X1×X2=4m² 韦达定理

X1²+X2²=(X1+X2)²-2 X1×X2=(8-4m)²-2×4m²=136
化简为m²-8m-9=0 解得m=-1或m=9

Answer 4

设两根为A,B,根据韦达定理
A+B=-(8-4M)
AB=4M²
又A²+B²=(A+B)²-2AB=(8-4M)²-8M²=136
==>16M²-64M+64-8M²=136 ==>8M²-64M-72=0==>M²-8M-9=0==>(M+1)(M-9)=0
==>M=-1或者M=9
所以存在M M=-1或者M=9