Question

流函数的性质

Answer 1

Ψ称为轴对称运动的流函数，也称为斯托克斯流函数。对于不可压缩流体，流函数具有下列四个性质：
①Ψ可加上任一常数而不影响对流体的运动的描述。
②Ψ为常数的曲面是流面。
③在Oxy平面上或θ=π/2的平面上取一曲线弧AB，则通过以AB为底、高为单位的曲面（平面情形）或通过以AB为母线的旋转曲面（轴对称情形）的流量Q与流函数在A、B两点上的值ΨA和ΨB之间存在如下关系：
Q=（2π）（ΨB－ΨA），
式中v=0和v=1分别对应于平面和轴对称情形。
④在单联通区域内若不存在源、汇（见源流、汇流），则流函数Ψ是单值函数。若单联通区域内有源，汇或在多联通区域内，则Ψ一般是多值函数。
如果不可压缩流体的运动是无旋的，则▽×v=0。在直角坐标系中无旋条件给出,由此推出，流函数Ψ满足拉普拉斯方程△Ψ=0，因而是调和函数。在柱坐标系和球坐标系中，无旋条件要求：
于是Ψ满足下列方程：DΨ=0，式中D为广义斯托克斯算符，它在柱坐标系和球坐标系中的表达式分别为：