Question

高数 一道关于微分方程的问题

高数 一道关于微分方程的问题如图第三小题，我不是很懂那个答案里面说那两个特征方程的根是怎么来的…由这个二阶非齐次右边特征数可以判断是Pm（x）*e^ax型的 然后a=2如果算是特征方程一根，那特解不应该是只含xe^2x的嘛。那特解里的2e^3x是从哪里得出的？ 求本题详细的解释

Answer 1

首先，任意非齐次线性方程的解都可以分为两部分之和，一是非齐次线性方程自身的解，一是对应的齐次线性方程的解（最起码是0）。
本题，非齐次线性方程的自由项f(x)=ce^(2x)，根据2是不是特征方程的根 ，是单根还是重根，其特解可设为Ce^(2x)，Cxe^(2x)，或者Cx²e^(2x)。
现在特解y＝2e^(3x)+xe^(2x)，立马可知2e^(3x)是对应齐次线性方程的解，xe^(2x)是非齐次线性方程的解，所以3是特征方程的根，2是特征方程的单根。

Answer 2

特解是带入方程满足方程的根，2e的3x次幂是让你求r=3的特征很的。