Question

如图，在三角形ABC中，点O为BC的中点，点M为AB上一点，ON垂直OM交AC于N，求证：BM+CN>MN.

Answer 1

证明：1.延长NO至P，使NO=OP，连结BP.
2.易证三角形BPO全等于三角形CNO，所以NC=BP
3.在三角形MOP和三角形MON中，PO=ON，角MOP=角MON=90度，MO=MO.
所以三角形MOP全等于三角形MON，所以MP=MN
4.在三角形BMP中，BM+BP大于MP.
5.所以BM+CN>MN

Answer 2

证明：如图证明：延长NO至P，使NO=OP，连结BP、MP。
∵O是BC的中点
∴BO=OC
∵∠BOP=∠CON（对顶角相等）
∴△BPO≌△CNO（S.A.S）
所以NC=BP
在△MOP和△MON中，
NO=OP(已作）
∠MOP=∠MON=90°，
MO=MO（公共边）
∴△MOP≌△MON，
则：MP=MN
∵在三角形BMP中，BM+BP＞MP（在三角形中，两边之和大于第三边）
∴BM+CN>MN。
附件：

Answer 3

证明：延长MO至点D，使得OD=OM，连接CD,NDOM=OD，OB=OC，∴△OBM≌△OCD
∴BM=CD。又OM=OD，NO⊥MD
∴△ONM≌△OND
=>
NM=ND
△NCD中，显然CN+CD>ND
即CN+BM>MN