Question

数列{an}各项为正,满足2a(n+1)+1/a(n+1)=an+2/an,使a1=a2016成立的a1最大值是（）。

数列{an}各项为正,满足2a(n+1)+1/a(n+1)=an+2/an,使a1=a2016成立的a1最大值是（）。最近重庆南开中学理数模拟题第16题。答案是2^1007，不甚理解。请各位高手给出过程！

Answer 1

易知通解为a(n+1)=1/2 an 或者a(n+1)=1/an。
对于后者 a1=a2016的条件使得a1=1所以 基本 该数列为2通解相互组成的情况。要使a1最大，则a2开始 应该为通解1（即衰减下去），直到a2015 ，然后a2016=1/a2015。即
a2016*(1/2)^2014 *a1=1。所以答案为2^1007。选择填空题要速度快。