Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，AF⊥BC，且AF/BF=2，过点D作DE平行于AB，交∠BCD的

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，AF⊥BC，且AF/BF=2，过点D作DE平行于AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE.（1）求证：BC=CD；（2）将△BEC绕C点，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG，求证：CD垂直平分EG；（3）延长BE交CD于点，求证：P是CD的中点.

Answer 1

（1）求证：BC=CD；

由条件CD=2AD, 设AD=X, 则CD=2X

由条件AF/BF=2,即AF=2BF,设BF=y,则AF=2y

因为:AF⊥BC,∠BCD=90°即DC⊥BC,AD∥BC

所以:AFCD为长方形

所以:FC=AD=x,AF=CD,2x=2y,x=y,

调整图形得出:

所以:BC=BF+FC=2x=CD,即BC=CD

（2）将△BEC绕C点，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG，求证：CD垂直平分EG；

连接EG与CD相交于H

因为:∠BCD=90°,CE为∠BCD的平分线

所以:∠BCD=∠ECD=45°

又因为:△BEC全等于△DGC

所以:∠DCG=∠BCE=45°,CE=CG

所以:∠ECG=90°,△ECG为等腰直角三角形

所以:∠CEH=∠CGH=45°,∠EHC=∠GHC=90°,CD⊥EG

又因为:EH=CH=GH,即EH=GH

得出:CD垂直平分EG

（3）延长BE交CD于点，求证：P是CD的中点.

 

连接BD,延长BP与DG相交于Q

因为:CD垂直平分EG

所以:∠EDC=∠GDC

又因为:AB∥DE

所以:∠BAF=∠EDC=∠GDC

因为:∠PBC+∠BPC=90°,△BEC全等于△DGC得出∠PBC=∠QDP

又因为:∠DPQ=∠BPC

所以:∠DPQ+∠QDP=90°,BQ⊥DG

因为:∠DPB=∠QDP+90°,∠DAB=∠BAF+90°,∠QDP=∠BAF

得出:∠DPB=∠DAB

又因为:∠ADB=∠PDB=45°,BD=BD,

得出△DAB全等于△DBP, AD=DP=x

CP=2x-x=x,得出DP=CP,即P是CD中点

完美！

Answer 2

1)∵AF⊥BC，CD⊥BC,AD//BC
∴∠AFC=∠DCF=∠ADC=90
∴四边形AFCD是矩形
∴AF=CD,AD=FC
∵CD=AF=2BF,CD=2AD
∴BF=AD=FC
∴BC=2AD
∵CD=2AD
∴BC=CD
2)设CD和EG交于点O
∵∠BCE=∠DCE=∠DCG=45
∵CE=CG,∠DCE=∠DCG=45,OC=CO
∴△COE≌△COG(SAS)

∴OE=OG,∠COE=∠COG
∵∠COE=∠COG,∠COE+∠COG=180
∴∠COE=∠COG=90
∴OE=OG,CD⊥EG
即,CD垂直平分EG
3)连接AC,,EF,延长GE交AB于点M
∵CD⊥EG,CD⊥BC，CD⊥AD
∴MG//AD//BC
∵AD//ME,DE//AB
∴四边形AMED是平行四边形
∴AD=ME,∠MED=∠BAD,
又BF=AD=FC
∴ME=BF
∵ME//BF
∴四边形MBFE是也平行四边形
∴∠MEF=∠ABF,
∵∠BAD+∠ABF=180
∴∠MED+∠MEF=180
∴E,D,F三点共线
∴∠BEF=∠DEP
∵∠EBF=∠EDP,,BE=ED,∠BEF=∠DEP
∴△EBF≌△DEP(ASA)
∴BF=DP
∵BF+FC=DP+CP,BF=DP
∴FC=CP
∵BF=FC,BF=DP,FC=CP
∴DP=CP
∴P是CD的中点