Question

海伦公式是什么

Answer 1

1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，
其中P=(A+B+C)/2
A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。
2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）
S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]
=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]
变形1
=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}
变形2
=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}
变形3
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]
变形4
3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为
A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y
根据勾股定理可得以下三式：
X=A-Y
第1式
H^=B^-Y^
第2式
H^=C^-X^
第3式
根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^
第4式
把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得
Y=（A^-C^+B^）/2A
第5式
根据第2式可得
H=√（B^-Y^）
=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]
={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
三角形面积S=（1/2）*AH
=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A
=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^
]
这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。

Answer 2

海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p
=
(a
b
c),则
S△ABC
=
aha=
ab×sinC
=
r
p
=
2R2sinAsinBsinC
=
=
其中，S△ABC
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
S=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
S△ABC
=
aha=
a×
=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
S△ABC
=
aha
=
a
×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
S
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
b2
－2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S
=
则要证S
=
=
=
ab×sinC
此时S
=
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A
∠B
∠C
=180○那么
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
=
①②③代入，得：
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x
z)＋(x
y)－(z
y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
S△ABC
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴S△ABC
=
r·p
=
故得证。
三、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=
,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA
=
e
EB
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△EAB～△ECD
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于S四边形ABCD
=
S△EAB
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海伦公式的推广得证。
四、
海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD
=
,AD
=
1,AB
=
1,
CD
=
2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC
=
x
由海伦公式的推广，得：
=
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，AD
=
BC
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。