Question

函数问题求解

Answer 1

(1)
设t=loga^(x) [注：a为底,()表示对数]
则x=a^t
代入得：
f(t)=a/(a^2-1)*[a^t-a^(-t)]
所以解析式为：
f(x)=a/(a^2-1)*[a^x-a^(-x)]

(2)f(-x)=a/(a^2-1)*[a^(-x)-a^x]＝-f(x)
所以为奇函数。

设x1<x2,
f(x2)-f(x1)
=a/(a^2-1)*[a^x2-a^(-x2)]-a/(a^2-1)*[a^x1-a^(-x1)]
=a/(a^2-1)*{[a^x2-a^x1]+[a^(-x1)-a^(-x2)]}

当a>1时，a^2-1>0,a^x2>a^x1,a^(-x1)>a^(-x2)
f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1)

当0<a<1时，a^2-1<0,a^x2<a^x1,a^(-x1)<a^(-x2)
仍有f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1)

故f(x)在定义域上是单调递增的。

(3)x∈(-1,1)时，
f(1-m)+f(1-m^2)<0
即：-1<1-m<1且-1<1-m^2<1，0<m<√2
此时有：f(1-m)<-f(1-m^2)=f(m^2-1)（为奇函数）
f(x)在定义域上是单调递增，故有
1-m<m^2-1
m^2+m-2>0
(m+2)(m-1)>0
m<-2或m>1

综上：1<m<√2
M={m|1<m<√2}

Answer 2

1
（1）解：
令f(x)＝g(x)，可得
ax^2+2bx+c=0
△=4b^2-4ac
∵abc,a+b+c=0
∴a0,c0,ac0,即-4ac0
∴△=4b^2-4ac0
∴两函数f(x)及g(x)的图像相交于相异两点
（2）解：
∵a+b+c=0
∴b^2=(a+c)^2=a^2+b^2+2ac
∴b^2-2ac=a^2+b^2
设AB的横坐标分别为x1.x2
绝对值A1B1即为|x1-x2|
|x1-x2|^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=(4b^2-4ac)/a^2
=2(a^2+b^2+c^2)/a^2
=2+2(b^2+c^2)/a^2
=2+2(b^2+c^2)/(b^2+c^2+2bc)
若b0,则bc≥0
2+2(b^2+c^2)/(b^2+c^2+2bc)≤2+2(b^2+c^2)/(b^2+c^2)=4
2+2(b^2+c^2)/(b^2+c^2+2bc)
=2+2-4bc/(b^2+c^2+2bc) 上下同时除bc
=4-4/(2+c/b+b/c)≥3 （因为c/b+b/c≥2，所以-4/(2+c/b+b/c)≥-1）
∴3≤|x1-x2|^2≤4
根号3≤A1B1≤2
若b0,则bc0
此时|x1-x2|^2
=2+2(b^2+c^2)/(b^2+c^2+2bc)
≥4 （因为(b^2+c^2)/(b^2+c^2+2bc)≥1）
∴|x1-x2|＞2