Question

函数问题求解

若函数y=f(x)的定义域为R,则"对于任意X∈R,恒有F(x)＜F(x+1)"是"f(x)是增函数"的必要非充分条件，请问为什么?

Answer 1

必要：若f(x)是增函数，则由x＜x+1可知f(x)＜f(x+1)一定成立
不充分：用反证法，构造函数f(x)，当0≤x＜1时满足f(x)=x，且f(x)是以1为周期的周期函数，则函数g(x)=f(x)+x/2显然满足f(x)＜f(x+1)，但它不是增函数
LS的例子不够严谨

追问

求详细解。。刚高一，周期函数不怎么懂。

追答

解释一下，0≤x＜1时满足f(x)=x，即区间[0,1)内f(x)的图像是从原点到(1,1)的线段（不含(1,1)），把线段向左右多次平移，每次平移1个单位长度即可得到f(x)的完整图像
（任意一个长度为T的有限区间上的图像去掉一侧端点，再向左右多次平移，每次平移T个单位长度，所得即为周期函数，注意由定义f(x+T)=f(x)可知周期函数的定义域必须两端延伸至无穷）

Answer 2

必要性是显然的，因为x1<x2时，f(x1)<f(x2)
只需取x1=x, x2=x+1即有：f(x)<f(x+1)
非充分只需举个反例
比如令f(x)=x+sin2πx
则f(x+1)=x+1+sin2πx=f(x)+1>f(x)
但显然它不单调。

Answer 3

f(x)是增函数,可推出恒有F(x)＜F(x+1)
但F(x)＜F(x+1)
并不能保证f（x）＜f(x+0.5)，因此，无法证明f（x）是增函数
F(x)＜F(x+1)"是"f(x)是增函数"的必要非充分条件

Answer 4

因为f(x)是增函数，那么必定有F(x)＜F(x+1)
反过来，F(x)＜F(x+1)，f(x)却不一定是增函数 可能只是这一段是递增的

Answer 5

画一个图像由许多斜线段构成的函数，你就明白了。