Question

求函数f(x,y)=4x-4y-x^2-y^2的极值点和极值

二元函数的极值

Answer 1

∂f/∂x=4-2x

∂f/∂y=-4-2y

驻点(2,-2)

∂²f/∂x²=-2 (A)

∂²f/∂x∂y=0 (B)

∂²f/∂y²=-2 (C)

B²-AC<0 A<0→驻点是极大值点

极大值f(2,-2)=8

极值的定义：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。同理，若对D中除x0的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。

Answer 2

∂f/∂x=4-2x
∂f/∂y=-4-2y
驻点(2,-2)
∂²f/∂x²=-2 (A)
∂²f/∂x∂y=0 (B)
∂²f/∂y²=-2 (C)
B²-AC<0 A<0→驻点是极大值点
极大值f(2,-2)=8