Question

求函数的解析性区域，并求出其导数 (x+y)/(x^2+y^2) + i(x-y)/（x^2+y^2）

Answer 1

解析要求满足柯西黎曼条件：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x
u=(x+y)/(x²+y²)，v=(x-y)/(x²+y²)
∂u/∂x=[(x²+y²)-2x(x+y)]/(x²+y²)²=[(x²+y²)-2x(x+y)]/(x²+y²)²=(y²-x²-2xy)/(x²+y²)²
∂u/∂y=(x²-y²-2xy)/(x²+y²)²
∂v/∂x=(y²-x²+2xy)/(x²+y²)²
∂v/∂y=-(x²-y²+2xy)/(x²+y²)²
验证得：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x两个均恒成立，因此该函数在整个复平面解析，其导数为：
∂u/∂x+i∂v/∂x
=(y²-x²-2xy)/(x²+y²)²
+
i(y²-x²+2xy)/(x²+y²)²
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