Question

求和：1.Sn=1/2+3/4+3/4+……+n/2^n2.Sn=1+(1+a),+(1+a+a^2)+……+[1+a+a^2+……+a^(n-1)]

Answer 1

1.题目打错了吧?第二项和第三项怎么是3/4，3/4？应该是2/4，3/8

Sn=1/2+2/4+3/8+……+n/2^n

∴2Sn=1+2/2+3/4+……+n/2^(n-1)

两式错位相减，得Sn=1+1/2+1/4+1/8+……+1/2^(n-1)-n/2^n=2－(n+2)/2^n

2.Sn=1+(1+a)+(1+a+a²)+(1+a+a²+a³)+……+[1+a+a²+……+a^(n-1)]

∴两边同乘以a，得aSn=a+(a+a²)+(a+a²+a³)+(a+a²+a³+a^4)+……+(a+a²+a³+……+a^n)

两式错位相减，得(1-a)Sn=1+1+1+1+……+1(n个1)－(a+a²+a³+……+a^n)

(1-a)Sn=n－a(1-a^n)/(1-a)，得Sn=n/(1-a)－a(1-a^n)/(1-a)²
，此时a≠1

若a=1，则Sn=1+2+3+……+n=(n+1)*n/2

∴a=1时，Sn=1+2+3+……+n=(n+1)*n/2

a≠1时，Sn=n/(1-a)－a(1-a^n)/(1-a)²