Question

函数f(x)在x0处可微，f'(x)=0是点x0为极值点的什么条件？

函数f(x)在x0处可微，f'(x)=0是点x0为极值点的什么条件？我觉得可微肯定可导，所以应该是充分条件，大家觉得呢？

Answer 1

首先，这里问的是，f'(x)=0是点x0为极值点的什么条件？
那么f'（x0）=0能不能得到x0是极值点的结论呢？不能，因为有反例
f（x）=x³，这个函数，在x=0点处有f'（0）=0，但是这个函数在x=0点处不是极值点，这个函数的单调递增函数，没有极值点。
所以f'（x0）=0不是x0是极值点的充分条件
那么x0是极值点能不能推到出f'（x0）=0呢？可以
因为极值点在不可导处或一阶导数为0的地方，现在已经可微了，不是不可导点了，那么一阶导数必然为0，所以x0是极值点可以推到出f'（x0）=0来。
所以f'(x)=0是点x0为极值点的必要但不充分条件。