Question

求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x^2+y^2-2x+10y-24=0,x^2+y^2+2x+2y-8=0交点的圆的方程(两种方法）

Answer 1

第一个回答有误：
两种解法：
（一）
所求圆过x^2+y^2+2x+2y-8=0及x^2+y^2-2x+10y-24=0交点，则圆方程为
(x^2+y^2+2x+2y-8)+a(x^2+y^2-2x+10y-24)=0
(1+a)x^2+(1+a)y^2+2(1-a)x+2(1+5a)y-8-24a=0，两边除以1+a
x^2+y^2+2[(1-a)/(1+a)]x+2[(1+5a)/(1+a)]y-[(8+24a)/(1+a)]=0
(x+(1-a)/(1+a))^2+(y+(1+5a)/(1+a))^2=r^2（r表示半径，具体多少无关紧要）
此圆圆心在点(-(1-a)/(1+a),-(1+5a)/(1+a))，这个点在x=-y直线上，所以
-(1-a)/(1+a)=(1+5a)/(1+a)，即a=-0.5
带入圆一般方程0.5x^2+0.5y^2+3x-3y-8+12=0，即x^2+y^2+6x-6y+8=0
（二）
圆x2+y2+2x+2y-8=0的圆心在点(-1,-1)，圆x2+y2-2x+10y-24=0的圆心在点(1,-5)
连接两圆心并延长，可得直线y+2x=-3，圆心线垂直平分公共弦，此公共弦为三圆共有，则所求圆心也必在y+2x=-3直线上，因此所求圆圆心为y+2x=-3和y+x=0交点，求得该圆圆心为(-3,3)
设所求圆为x^2+y^2+6x-6y+C=0，三圆共弦，可得：
x^2+y^2+6x-6y+C-(x^2+y^2+2x+2y-8)=k[x^2+y^2+6x-6y+C-(x^2+y^2-2x+10y-24)]，即
4x-8y+C+8=k(8x-16y+C+24)
当k=0.5时，可消去上式中x和y，求得C=8，
因此所求圆为x^2+y^2+6x-6y+8=0