Question

已知数列 1/1*2 ，1/2*3，1/3*4，…，1/n(n+1),… Sn为其前n项和

Answer 1

解：∵数列{a[n]}的前n项和为s[n],na[n
1]=s[n]
n(n
1)
∴ns[n
1]-ns[n]=s[n]
n(n
1)
ns[n
1]-(n
1)s[n]=n(n
1)
s[n
1]/(n
1)-s[n]/n=1
∵a[1]=2
∴s[1]=a[1]=2
∴{s[n]/n}是首项为s[1]/1=2，公差为1的等差数列
即：s[n]/n=2
(n-1)=n
1
∴s[n]=n(n
1)
∵s[n-1]=(n-1)n
∴将上面两式相减，得：
a[n]=2n

Answer 2

S1=1/2
S2=2/3
S3=3/4
Sn=n/(n+1)
证明：
当n=k时，若假设成立，则
Sk=k/(k+1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)
a(k+1)=1/(k+1)(k+2)
S(k+1)=Sk+a(k+1)
=k/(k+1)+1/(k+1)(k+2)
=1-1/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2)
=1-1/(k+2)
=(k+1)/(k+2)
假设成立