Question

数列{1/ n(n+1) }的前n项和Sn=1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式

数列{1/ n(n+1) }的前n项和Sn=1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/ n(n+1),求能否找到求Sn 的一个公式

Answer 1

数列元素 1/ n(n+1) 可以拆为 1/ n - 1/ (n+1)

因此 Sn = (1- 1/2) + (1/2- 1/3) + (1/3- 1/4) + .... + [1/ n - 1/ (n+1)]
= 1 + (1/2 - 1/2) + (1/3 - 1/3) + .... + (1/n - 1/n) - 1/ (n+1)
= 1 - 1/ (n+1)
= n/ (n+1)

Answer 2

1/(1*2) =1/2=1-1/2=1/n-1/(n+1)
1/(2*3)=1/6=1/2-1/3=1/n-1/(n+1)
……
写下去后不难发现，n*（n+1）分之一 等于 1/n-1/（n+1）:
1/(1*2) +1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/ n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)
-1/2+1/2 -1/3+1/3 这样的都可以抵消
全部抵消后只剩下：1-1/（n+1）
Sn=1-1/(n+1)=n/(n+1)