Question

数列｛1/n（n+1）｝的前n项和Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+......+1/n(n+1),研究一下，能否找到求Sn的一个公

数列｛1/n（n+1）｝的前n项和Sn=1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+......+1/n(n+1),研究一下，能否找到求Sn的一个公式。你能对这个问题作一些推广吗

Answer 1

解析，an=1/{n(n+1)}=1/n-1/(n+1)
那么，Sn=a1+a2+a3+……+an=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
推广，
an=1/{(n+t)(n+t+1)}(t∈自然数N)，都可以，这样拆开，an=1/(n+t)-1/(n+t+1)
另外，an=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n(n≧2的正整数)
an=1/(2n+1)(2n+3)=1/2(1/(2n+1)-1/(2n+3))
总结，只要是分母的两项相减等于常数，都可以利用拆开的方法，

Answer 2

1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
Sn=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

追问

除了这个以外，还有其他的吗？

追答

有的。
推广：
1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n -1/(n+2)]
Sn=(1/2)[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n -1/(n+2)]
=(1/2)[(1+1/2+1/3+...+1/n)-(1/3+1/4+1/5+...+1/(n+2))]
=(1/2)[1+1/2 -1/(n+1)-1/(n+2)]
=3/4 -1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)]

1/[n(n+3)]=(1/3)[1/n -1/(n+3)]
Sn=(1/3)[1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)]

…………

一般的：
1/[n(n+k)]=(1/k)[1+1/2+...+1/k -1/(n+1)-1/(n+2)-...-1/(n+k)]

Answer 3

n/n+1