Question

函数定义域试题

Answer 1

要点重温之集合、逻辑
江苏
郑邦锁
1.集合运算中一定要分清代表元的含义。
[举例]已知集合p={y|y=x2，x∈r}，
q={y|y＝2x，x∈r}求p∩q。
解析：集合p、q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）|
y=x2，x∈r}才表示函数图象），p=[0，+
，q=（0，+
，p∩q=q。
[提高]a={x｜y=3x+1,y∈z},b={y｜y=3x+1,x∈z},求a∩b。
2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
[举例]若a={x|x2<a}
b={x|x＞2}且a∩b=φ，求a的范围（注意a有可能为φ）。
解析：当a>0时，集a=（-
，
），要使a∩b=φ，则
≤2，得0<a≤4,
当a≤0时，a=φ，此时a∩b=φ，综上：a≤4（a=φ的情况很容易疏漏！）
[巩固]若a={x∣ax=1},b={x∣x2=1}且b∩a=a，求a的所有可能的值的集合。
[关注]a∩b=a等价于a
b
3.充要条件可利用集合包含思想判定：若a
b，则a是b充分条件；若a
b，则a是b必要条件；若a
b且a
b即a=b，则a是b充要条件。换言之：由a
b则称a是b的充分条件，此时b是a的必要条件；由b
a则称b是a的充分条件，此时a是b的必要条件。有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。
充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲
乙）”与“甲的充分条件是乙（乙
甲）”。
[举例]
若非空集合
，则“
或
”是“
”的
（
）
（a）充分非必要条件
（b）必要非充分条件
（c）充要条件
（d）既非充分又非必要条件
解析：命题“
或
”等价于“
∈
”，显然
是
的真子集，
∴“
或
”
是“
”的必要不充分条件。
[巩固]已知直线
、
和平面
，则
‖
的一个必要但不充分条件是
（
）
（
）
‖
且
‖
（
）
且
（
）
、
与
成等角
（
）
‖
且
4.命题“a或b”真当且仅当“a、b中至少要一个真”；
命题“a或b”假当且仅当“a、b全假”。命题“a且b”真当且仅当“a、b全真”；命题“a且b”假当且仅当“a、b中至少要一个假”。“p真”则“非p假”，“p假”则“非p真”；注意：“非p”和“p的否命题”是不同的，“非p”只否定命题的结论，“p的否命题”则是分别否定命题的条件和结论；如p：两直线平行内错角相等，“非p”：两直线平行内错角不相等，“p的否命题”：两直线不平行内错角不相等。
[举例]
已知
函数f(x)=lg(ax2-x+
a)的定义域为r；
不等式
<1+ax对一切正实数均成立。若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围是_____________。
解析：f(x)
的定义域为r
ax2-x+
a
>0对一切实数x恒成立
a>2，即命题p：a>2；
不等式
<1+ax对一切正实数均成立
对一切正实数x恒成立，记
，则
，令
，
=
，可见函数
无最大值，它的极大值为1，∴a≥1，即命题q：a≥1；而p或q为真，p且q为假即
p、q一真一假；若p真
q假，则a>2且a<1,这不可能，舍去；若p假
q真，则a≤2且a≥1即1≤a≤2；
[巩固1]设
或
，
或
，则
是
的（
）
（a）充分不必要条件
（b）必要不充分条件
（c）充要条件
（d）既不充分也不必要条件
[巩固2]若“¬p或¬q”是真命题，则---------------------------------------------------------（
）
（a）“p或q”是真命题
（b）“¬p且¬q”是真命题
（c）“p或q”是假命题
（d）“p且
q”是假命题
简答
2.
[巩固]{-1，1，0}，3.
[举例]b，[巩固]c，
4.
[巩固1]a，[巩固2]d，

Answer 2

要点重温之集合、逻辑
江苏
郑邦锁
1.集合运算中一定要分清代表元的含义。
[举例]已知集合P={y|y=x2，x∈R}，
Q={y|y＝2x，x∈R}求P∩Q。
解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）|
y=x2，x∈R}才表示函数图象），P=[0，+
，Q=（0，+
，P∩Q=Q。
[提高]A={x｜y=3x+1,y∈Z},B={y｜y=3x+1,x∈Z},求A∩B。
2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
[举例]若A={x|x2
0时，集A=（-
，
），要使A∩B=Φ，则
≤2，得0
0对一切实数x恒成立
a>2，即命题p：a>2；
不等式
<1+ax对一切正实数均成立
对一切正实数x恒成立，记
，则
，令
，
=
，可见函数
无最大值，它的极大值为1，∴a≥1，即命题q：a≥1；而p或q为真，p且q为假即
p、q一真一假；若p真
q假，则a>2且a<1,这不可能，舍去；若p假
q真，则a≤2且a≥1即1≤a≤2；
[巩固1]设
或
，
或
，则
是
的（
）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
[巩固2]若“??p或??q”是真命题，则---------------------------------------------------------（
）
（A）“p或q”是真命题
（B）“??p且??q”是真命题
（C）“p或q”是假命题
（D）“p且
q”是假命题
简答
2.
[巩固]{-1，1，0}，3.
[举例]B，[巩固]C，
4.
[巩固1]A，[巩固2]D，