Question

高等数学，四道级数题

高等数学，四道级数题第三题的四个，求过程，第二张是答案

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Answer 1

解：(1)小题，设S(x)=∑x^(4n-1)/(4n-1)。∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(4n-1)/(4n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=2。又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=(x^4)/R<1，∴丨x丨<R=1，即收敛区间为丨x丨<1。当x=±1时，级数∑x^(4n-1)/(4n-1)=±∑1/(4n-1)~±∑1/(4n)，发散；∴收敛域为丨x丨<1。

由S(x)两边对x求导，有S'(x)=∑x^(4n-2)=x²/(1-x^4)=(1/2)[1/(1-x²)-1/(1+x²)]。两边积分，
∴S(x)=(1/2)∫(0,x)[1/(1-x²)-1/(1+x²)]dx=(1/4)ln[(1+x)/(1-x)]-(1/2)arctanx。
(2)小题，设S(x)=∑nx^(n-1)。仿(1)小题，可得其收敛域为丨x丨<1。∴S(x)=[∑x^n]'=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²。
(3)小题，仿(1)小题，设S(x)=∑(x^n)/[n(n-1)]、且x=±1时，级数均收敛，可得其收敛域为丨x丨≤1。
又，由S(x)两边对x求导、两次，有[S(x)]''=∑x^(n-2)]'=1/(1-x)]。∴S'(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。两边再次积分，∴S(x)=-∫(0,x)ln(1-x)dx=(1-x)ln(1-x)+x。
(4)小题，仿(1)小题，设S(x)=∑(2n-1)x^(2n-2)/2^n，可得其收敛域为丨x丨<√2。
又，S(x)=∑(2n-1)x^(2n-2)/2^n=(1/2)∑(2n-1)(x/√2)^(2n-2)。设y=x/√2，仿(2)小题，可得S(x)=(1/2)[y/(1-y²)]'=(1/2)(1+y²)/(1-y²)².
∴S(x)=(2+x²)/(2-x²)²。供参考。