Question

证明一个有理数和一个无理数的和是无理数

RT~要有详细的推导过程

Answer 1

这个太简单了吧，反证法搞定。
一下字母m,n,i,j都是整数，其中n和j是非0整数。
把有理数表示为 m/n ，无理数表示为A，有理数和无理数的和为 m/n + A。
假设和是有理数，那么这样一个有理数可以表示为分数 i/j，
即 m/n + A = i/j
于是A = i/j - m/n = (in - jm) / jn
因为mnij皆为整数，所以 (in - jm) 是整数，jn也是整数
也就是说 A 可以表示为两个整数相除，和A是无理数的已知条件矛盾
所以，m/n + A 为无理数

Answer 2

设a是有理数, b是无理数, 并且假设a+b是有理数.
任何有理数都可以表示为分数(分母可以是1;分子可以是0 ), 所以
a+b = m/n (m/n为最简分数)

b = m/n -a = p/q (p/q为最简分数)
于是b是有理数, 这b是无理数的假设相矛盾, 所以a+b是无理数.