Question

求两个微分方程的通解

Answer 1

(1).  求微分方程(y+2xy²)dx+(x-2x²y)dy=0的通解

解：由于∂P/∂y=1+4xy≠∂Q/∂x=1-4xy；∴不是全微分方程；但有积分因子μ=1/(x²y²)；

用μ乘原方程的两边得：[(1/x²y)+2/x]dx+[(1/xy²)-2/y]dy=0

此时P=(1/x²y)+2/x；∂P/∂y=-1/(x²y²)；Q=(1/xy²)-2/y，∂Q/∂x=-1/(x²y²)；

∂P/∂y=∂Q/∂x=-1/(x²y²）,∴是全微分方程；于是通解：u(x，y)=

这就是原方程的通解。

(2). 求微分方程 y''=3x²y'/(1+x³)的通解

解：令y'=p；则y''=dp/dx；于是有：dp/dx=3x²p/(1+x³);

分离变量得：dp/p=[3x²/(1+x³)]dx；积分之得：

lnp=∫[3x²/(1+x³)]dx=∫d(1+x³)/(1+x³)=ln[c₁(1+x³)]

故p=dy/dx=c₁(1+x³)；再次分离变量并积分之得y=c₁∫(1+x³)dx=c₁[x+(1/4)x^4]+c₂;

这就是原方程的通解。

Answer 2

第一题没有找到解法

Answer 3

解:微分方程为(y+2xy²)dx+(x-2x²y)dy=0，y(1+2xy)dx=x(2xy-1)dy，xy(1+2xy)dx=x²(2xy-1)dy，设xy=u，方程化为u(1+2u)/(2u-1)=xdu/dx-u，4u²/(2u-1)=xdu/dx，(2u-1)du/u²=4dx/x²，2du/u-du/u²=4dx/x²，lnu²+1/u=-4/x+c(c为任意常数)，微分方程的通解为ln(xy)²+1/(xy)=c-4/x
微分方程为(y+2xy²)dx+(x-2yx²)dy=0，化为ydx+xdy+2xy²dx-2yx²dy=0，d(xy)+2x²y²(1/x×dx-1/y×dy)=0，d(xy)+2x²y²d(ln|x|-ln|y|)=0，d(xy)+2x²y²d(ln|x/y|)=0，2d(ln|x/y|)=-d(xy)/(x²y²)，2ln|x/y|=1/(xy)+c，微分方程的通解为ln(x²/y²)=1/(xy)+c (c为任意常数)