Question

求解这题定积分

求解这题定积分第五题

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Answer 1

解：用分部积分法求解。
∵∫xe^(-x)dx/[1+e^(-x)]^2=∫xe^xdx/(1+e^x)^2=∫xd[-1/(1+e^x)]=-x/(1+e^x)+∫dx/(1+e^x)]，
而∫dx/(1+e^x)]=∫d(e^x)/[(e^x)(1+e^x)]=ln[(e^x)/(1+e^x)]+C1，
∴原式={-x/(1+e^x)+ln[(e^x)/(1+e^x)]}丨(x=0,∞)=ln2。
供参考。

Answer 2

let
u=√x
2udu = dx
x=1, u=1
x=4, u=2
∫(1->4) dx/(1+√x)

=∫(1->2) 2udu/(1+u)
= 2∫(1->2) [1 -1/(1+u)] du
=2[ u -ln|1+u|] |(1->2)
=2[( 2-ln3) -(1-0)]
=2(1-ln3)