Question

求曲面z＝√(4－x²－y²)与3z＝x²＋y²所围立体的体积

求曲面z＝√(4－x²－y²)与3z＝x²＋y²所围立体的体积RT

Answer 1

z = √(4－x²－y²) 与 3z = x²＋y² 消去 z， 得交线在 xOy 坐标平面的投影是
x²＋y² = 3，
V = ∫<0, 2π>dt∫<0, √3>[√(4-r^2)-(1/3)r^2]rdr
= 2π∫<0, √3>[√(4-r^2)-(1/3)r^2]rdr
= -π∫<0, √3>√(4-r^2)d(4-r^2) - (2π/3)∫<0, √3>r^3dr
= - (2π/3)[(4-r^2)^(3/2)]<0, √3> - (π/6)[r^4]<0, √3>
= 14π/3 - 9π/6 = 19π/6

Answer 2

围成的立体形如两碗相扣，球面在上，抛物面在下，
为了求该立体在xoy面的投影区域，
来求两曲面的交线，为此，联立两曲面方程，
解得x^2+y^2=3，故区域D为x^2+y^2《3，
采用二重积分计算体积V=∫∫ D （√4-x^2-y^2 - (x^2+y^2)/3）dxdy
采用极坐标，V=∫(0到2π)d♀∫(0到√3) （√4-r^2 -r^2/3）rdr
=2π*。。。=