Question

在四面体ABCD中,BD=根号2a AB=AD=CB=CD=AC=a 如图,求证平面ABD垂直于平面BCD

Answer 1

取BD的中点E，连接AE、CE。
已知，BD
=
√2a
，AB
=
AD
=
a
，
可得：△ABD是等腰直角三角形，AE是斜边上的中线，
则有：AE⊥BD
，AE
=
(1/2)BD
=
(√2/2)a
。
已知，BD
=
√2a
，CB
=
CD
=
a
，
可得：△CBD是等腰直角三角形，CE是斜边上的中线，
则有：CE
=
(1/2)BD
=
(√2/2)a
。
已知，AC
=
a
，AE
=
CE
=
(√2/2)a
，
可得：△ACE是等腰直角三角形，
则有：AE⊥CE
。
因为，AE⊥BD
，AE⊥CE
，BD和AE都在平面BCD内，
所以，AE⊥平面BCD
，而且，AE在平面ABD内，
可得：平面ABD⊥平面BCD
。