Question

设a＞2，给定数列{an}，a1=a，an+1=an22(an-1)（n∈N+）...

设a＞2，给定数列{an}，a1=a，an+1=an22(an-1)（n∈N+）．求证：an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．

Answer 1

证明：用数学归纳法证明an＞2，
（1）当n=1，a1=a＞2，结论成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时结论成立，即ak＞2，
那么当n=k+1时，a
k+1-2
=ak2-4ak+42(ak-1)=(ak-2)22(ak-1)＞0，
即ak+1＞2，
由（1）（2）可知对n∈N+时都有an＞2．
当an＞2，an+1an=an2(a n-1)=12(1-1an)＜12(1-12)=1，
所以an＞2，且an+1＜an（n∈N+）．