Question

根非齐次线性微分方程解的结构怎么得知？

求大神详细的给一个这种三个线性无关的解结构！

Answer 1

解法一：设此微分方程是y''+py'+qy=f(x)，其中p,q是待定常数，f(x)是待定函数。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻烦。
解法二：利用二阶非齐次线性微分方程与齐次线性微分方程的解的特点。
y4=y3-y1=e^(-x)是对应的二阶齐次线性微分方程的特解，所以-1是特征方程的根。
y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二阶齐次线性微分方程的特解，所以2是特征方程的根。
所以二阶齐次线性微分方程的特征方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y''-y'-2y=0。
y6=y1-y5＝xe^x是二阶非齐次线性微分方程的特解，y6''-y6'-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。
所以所求二阶非齐次线性微分方程是y''-y'-2y=(1-2x)e^x。