Question

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立 （1）求证f(1)=f(-1)=0

设函数y=f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立 （1）求证f(1)=f(-1)=0,且f（1/x)=-f(x)(x≠0)
(2) 判断f(x)的奇偶性
(3)若f(x)在(0，正无穷）上单调递增，解不等式f（1/x)-f(2x-1)≥0.

Answer 1

（1）另y=1,则有f（x）=f（x）+f（1），所以f(1)=0，另y=1/x，则有f(1)=f(x)+f(1/x)=0,所以f（1/x)=-f(x)。另x=y=-1，则f(1)=2f(-1)=0，所以f(1)=f(-1)=0；
（2）另y=-1，则f(-x)=f(x)+f(-1)，由于f(-1)=0,所以f(x)=f(-x)为偶函数
（3）f（1/x)-f(2x-1)≥0，由于在(0，正无穷）单调递增，所以1/x＞=2X-1＞=0，解得-0.5＜=X＜1，并且X＞0，2X-1＞0，得到0.5＜=X＜=1，
由于f(x)为偶函数，则在（负无穷，0）单调递减，当f（1/x)-f(2x-1)≥0，则有1/x＜=2x-1＜=0，解得-0.5＜=X＜1，并且X＜0，2X-1＜0，得到-0.5＜=X＜=0，
综上所述 -0.5＜=X＜=0或0.5＜=X＜=1

Answer 2

打酱油的+_+

Answer 3

h

Answer 4

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