Question

请问这两道微积分怎么做？是求通解的

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

Answer 1

Answer 2

楼上解的挺好

Answer 3

解：∵微分方程为2y"+y'-y=2e^x
∴设方程的特征值为t，特征方程为
2t²+t-1=0，得：t=-1或0.5
∴特征根为e^0.5x或e^(-x)
又∵方程右式为2e^x ∴设方程的特 解为ae^x ∴有2ae^x+ae^x-ae^x=
2e^x，得：a=1 ∴方程的通解为
y=Ae^0.5x+Be^(-x)+e^x
(A、B为任意常数)
解：∵微分方程为y"+y=sinx，化为
y"cosx-y'sinx+y'sinx+ycosx=
sinxcosx
∴有(y'cosx)'+(ysinx)'=sinxcosx，
y'cosx+ysinx=0.5sin²x+c
(c为任意常数)，化为
y'/cosx+ysinx/cos²x=0.5sin²x/cos²x
+c/cos²x，(y/cosx)'=0.5sin²x/cos²x +c/cos²x，y/cosx=0.5tanx-0.5x+
ctanx+b(b为任意常数)，方程的通 解为y=(0.5+c)sinx-0.5xcosx+bcosx

Answer 4

(1).求微分方程 2y''+y'-y=2e^x的通解
解：齐次方程2y''+y'-y=0的特征方程 2r²+r-1=(2r-1)(r+1)=0的根 r₁=-1，r₂=1/2；
因此齐次方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(x/2) ；
设其特解为：y*=ae^x；则y*'=ae^x，y*''=ae^x；
代入原式得：2ae^x+ae^x-ae^x=2ae^x=2e^x，故a=1；于是得特解：y*=e^x；
故原方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^(x/2)+e^x;
(2). 求微分方程 y''+y=sinx的通解；

解：齐次方程 y''+y=0的特征方程 r²+1=0的根：r₁=i，r₂=-i;
故齐次方程的通解为 y=c₁cosx+c₂sinx；
设其特解为：y*=axcosx+bxsinx；
则y*'=acosx-axsinx+bsinx+bxcosx=(a+bx)cosx-(ax-b)sinx;
y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx-(ax-b)cosx=2bcosx-2asinx-(a+b)xcosx;
代入原式：2bcosx-2asinx-(a+b)xcosx+axcosx+bxsinx=2bcos-2asinx=sinx;
∴ b=0；-2a=1，即a=-1/2；∴y*=-(1/2)xcosx；
∴原方程的通解为：y=c₁cosx+c₂sinx-(1/2)xcosx;