Question

当n趋向无穷大时,(1+1/n)^n为多少？为什么？

Answer 1

谁给你出的这道题？？？真是脑筋缺根弦！
只能证明当n趋向无穷大时，（1+1/n）的n次方存在极限，（具体证明过程在下面）而因为这个极限是个无理数，所以就用e来代替这个极限值，e=2.71828……，e是事后规定的！！！
附：下面证明原极限存在（用单调有界必有极限来证）：
首先需要二项式定理：
（a+b）^n=∑
c（i=0
–>
i=n）n
i
a^(n-i)
*
b^i
（式一）
用数学归纳法证此定理：
n=1
(a+b)^1
a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立
，即：
（a+b）^n1=∑
c（i=0
–>
i=n1）n1
i
a^(n1-i)
*
b^i
（式二）
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑
c（i=0
–>
i=n1）n1
i
a^(n1-i)
*
b^i]*(a+b)
=>
(a+b)^(n1+1)=
∑
c（i=0
–>
i=(n1+1)）(n1+1)
i
a^((n1+1)-i)
*
b^i
(
据乘法分配律)
因此二项式定理（即式一成立）
下面用二项式定理计算这一极限：
（1+1/n）^n
（式一）
用二项式展开得：
（1+1/n）^n
=
1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3
+
…
+[(n(n-1)(n-2)
…3)/((n-2)(n-1)
…
2*1)]*(1/n)^(n-2)+
[(n(n-1)(n-2)
…3*2)/((n-1)(n-2)(n-1)
…
2*1)]*(1/n)^(n-1)+
[(n(n-1)(n-2)
…3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)
…
2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n
->
+∞,得0。因此总的结果是当n
->
+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
（1+1/n）^n
=1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+
…
+
1/n！
（式二）
当n
->
+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
补充：
将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。