Question

f(x+y)=f(x)f(y),如果函数是连续的，证明f(x)是指数函数

Answer 1

当x=0时，f（0+y）=f（0）*f（y），
因为f(x)是非零的连续函数，所以f（0）=1
当x=y时，f（2y）=f（y）的平方
当x=2y时，f（3y）=f（y）的3次方
...
所以
f（ny）=f（y）的n次方——（式1）
设f（1）=a
，有a不等于0
令y=1，代入式1，可得
f（n）=f（1）的n次方=a的n次方
即f（x）=a的x次方

Answer 2

∵f(x)=f(x/2)*f(x/2)=[f(x/2)]²≥0
∴lnf(x+y)=lnf(x)+lnf(f)
令g(x)=lnf(x)
∵f(x)连续
∴g(x)连续
且g(x+y)=g(x)+g(y)
由柯西定理g(x)=xg(1)
∴lnf(x)=xlnf(1)
∴f(x)=e^[x*lnf(1)]=e^[lnf(1)^x]=[f(x)]^x
令f(1)=a>0
则f(x)=a^x
∴f(x)是指数函数