Question

已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求...

已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若f（1）=32，且函数f（x）在[1，t]上的值域为[32，154]，求t的值； （3）设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3，x1，x2是R上的任意两个实数，且x1+x2=1，若g（mx1）+g（mx2）恒为一个常数，求非零常数m的值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，则ka0-a-0=0，解得k=1，
（2）由f（1）=32得，a-a-1=32，解得a=2，
下面证明函数f（x）在R上是增函数，
设x2＞x1，则f（x2）-f（x1）=（2x2-2-x2）-（2x1-2-x1）
=（2x2-2x1）（1+12x2•2x1）
∵x2＞x1，∴2x2＞2x1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，则f（x）在R上为增函数，
又∵函数f（x）在[1，t]上的值域为[32，154]，
∴f（t）=2t-2-t=154，解得t=2；
（3）g（x）=f（x）-f（2-x）+3
=ax-a-x-（a2-x-ax-2）+3
=(1+1a2)ax-(1+a2)a-x+3，
∴g（mx1）+g（mx2）=(1+1a2)amx1-(1+a2)a-mx1+3+(1+1a2)amx2-(1+a2)a-mx2+3
=(1+1a2)(amx1+amx2)-(1+a2)(a-mx1+a-mx2)+6
=(1+1a2)(amx1+amx2)-(1+a2)(1amx1+1amx2)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(1a2-1amx1•amx2)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(1a2-1am)+6恒为一个常数，
则m=2．