Question

奇函数和偶函数的单调性

Answer 1

奇函数的性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5、当且仅当  （定义域关于原点对称）时，  既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

偶函数的性质：

1、图象关于y轴对称

2、满足f(-x) = f(x)

3、关于原点对称的区间上单调性相反

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

奇函数解释

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念 。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能称为偶函数。

Answer 2

个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。

奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在
关于
原点对称的两个区间上有相反的单调性； 若 f（x）在区间D上是增（减）函数，则f（x）在 D 的任一个
子区间上也是增（减）函数。

若 y=f（u）和 u=g（x）的单调性相同，则复合函数y=f【g
（x）】是增函数；
若 y=f（u）和 u=g（x）的单调性相反，则复合函数y=f【g
（x）】是减函数。

单调函数

一般地，设一连续函数 f(x) 的定义域为D，则

如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是函数。

则增函数和减函数统称单调函数。

Answer 3

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
额~~奇函数与偶函数的单调性？？
这个是根据函数的不同而不同的阿~
这样吧，我给你解释下，
先从单调性说起吧：
函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
1、增函数与减函数
　　一般地，设函数f(x)的定义域为I：
　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在
这个区间上是增函数。
　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
2、单调性与单调区间
　　若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
　　在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
　　注:在单调性中有如下性质：
　　↑（增函数）↓（减函数）
　　↑+↑=↑
　　↑-↓=↑
　　↓+↓=↓
　↓-↑=↓
函数的奇偶性　：
1．定义
　　一般地，对于函数f(x)
　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
　　2．奇偶函数图像的特征：
　　定理
奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴对称。
　　f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
　　点（x,y）→（-x,-y）
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数
在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
　　3.
奇偶函数运算
　　(1)
.
两个偶函数相加所得的和为偶函数.
　　(2)
.
两个奇函数相加所得的和为奇函数.
　　(3)
.
一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
　　(4)
.
两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
　　(5)
.
两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
　　(6)
.
一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

Answer 4

偶函数的定义:如果对于函数
的定义域内任意一个x
都有f(-x)=f(x)
,那么
就叫做偶函数.
奇函数的定义:如果对于函数
的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么
就叫做奇函数.
对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。
证明函数单调性应该按下列步骤进行：
第一步：取值
第二步：作差变形
第三步：定号
第四步：判断下结论