Question

椭圆mx²+ny²=1与直线y=1-x交于M,N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为√2/2，则m/n的值

Answer 1

联立椭圆方程与直线方程，得(m＋n)x^2－2nx＋n－1＝0
设点m，n的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦mn的中点坐标是[(x1+x2)/2，(y1+y2)/2]
所以原点与线段mn中点的连线斜率是(y1+y2)/(x1+x2)＝√2/2
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，x1＋x2＝2n/(m+n)，代入、整理得
√2/2＝(y1+y2)/(x1+x2)＝(2－x1－y2)/(x1＋x2)＝m/n
所以，m/n＝√2/2

Answer 2

把y=1-x,①
代入mx^2+ny^2=1,②
得mx^2+n(1-2x+x^2)=1,
整理得(m+n)x^2-2nx+n-1=0,
则MN中点P的坐标:x=n/(m+n),
由①，OP的斜率=(1-x)/x=m/n=√2/2.