Question

裂相相消，错位相减，倒序相加分别适用于哪些形式的数列？

Answer 1

倒序相加
就像高斯算法
一般用于等差数列求和
如1+2+3+4+....+99+100
倒过来写成100+99+98+97+...+2+1
就直接成了100个101相加
结果再除以2
这种方法使用范围比较窄
除非出现了特殊的数列
如an+a1=常数
裂项相消
这种题型一般用于等差数列连乘的情况下
如
an=1/n*(n+1)
这样an=（(n+1)-n)/n*(n+1)
=1/n
-1/(n+1)
an=1/n*(n+k)
k为常数
给分子分母同乘k
即an=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k
-n)/(n*(n+k))
=(1/k)*(1/n
-
1/(n+k)
)
an=1/n*(n+k)(n+2k)
k为常数
给分子分母同乘2k
即an=2k/2k*n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(n+2k
-
n)/n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(1/n*(n+k)
-
1/(n+k)(n+2k)
往后4项5项的见得就少了
对于其他裂项
如
出现（an+1
-
an)/anan+1
也可以考虑将他变成1/an+1
-1/an
然后将1/an看成一个新数列
还有一种就是强行的裂项
an=n*(2^n)
设an=bn+1
-
bn
那么sn=a1+a2+...+an=(b2-b1）+（b3-b2)+....(bn+1
-
bn
)
=bn+1
-
bn
观察an后面有个2^n
那么可以肯定bn
后面也有2^n
直接设bn=（kn+t)2^n
那么bn+1
=
(k(n+1)+t)2^(n+1)
把2^(n+1)写成2*2^n
再把2乘进去就是
bn+1
=
(2k(n+1)+2t)2^n=（2kn+2k+2t)2^n
an=bn+1
-
bn
=(2kn+2k+2t
-kn
-
t)2^n=(kn+2k+t)2^n
与an对比得
k=1
2k+t=0
所以t=-2
bn=(n-2)*2^n
sn=bn+1
-
b1
=(n-1)2^（n+1）+2
an=n*(2^n)也可以用下面的错位相减来求
但是如an=(n^2
+1)2^n
错位相减要两次很复杂
用裂项就简单了
设bn=(kn^2
+
tn
+
c)2^n
再按照上述步骤走下去（高考不考）
错位相减
主要用于等比数列与等差数列想乘的情况
方法就是乘上公比
再错位
如an=1/2^n
设s=1/2
+
1/4
+1/8
+
.............+1/2^n
2s=1+1/2
+
1/4
+1/8
+
.............+1/2^（n-1）
错位相减得s=1-1/2^n
an=n/2^n
设s=1/2
+
2/4
+
3/8+...............n/2^n
2s=
1
+
2/2
+
3/4+...............n/2^(n-1)
错位相消后
s=（1+1/2+1/4.........+1/2^(n-1)
)-n/2^n
=2-
1/2^(n-1)-n/2^n
就想起这么多了