Question

求证：sinx/x>(cosx)^(1/3) (0<x<π/2)

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

当x=0时
sinx/x=(cosx)^(1/3)=1
0sinx/x和(cosx)^(1/3)都大于0
因此只要证明
(sinx)^3
>x^3*cosx
即(sinx)^3-x^3*cosx>0
不防令f=(sinx)^3
-x^3*cosx
f(0)=0
f'(x)=3*(sinx)^2*cosx-3*(sinx)^2*cosx+x^3*sinx=x^3*sinx>0
所以地f(x)>0
即sinx/x>(cosx)^(1/3)
(0

Answer 3

首先明确一点：
在x∈(0,∏/2)上有
sinx＜x＜tanx
这由图像易知
令f(x)=sinx/x
g(x)=(cosx)^(1/3)
∴f'(x)=(xcosx-sinx)/x²＜0
g'(x)=1/3cosx^(-2/3)＞0
而当x趋向于0时，limf(x)=limg(x)=1
∴f(x)＞g(x),x∈(0,∏/2)